Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP²=BD•BC；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

試題分析：（1）由拋物線(xiàn)y=ax²+bx﹣4過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（﹣2，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP²=BD•BC，在中，令x=0時(shí)，則y=﹣4，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）由△BPD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)
∴，解得
∴拋物線(xiàn)的解析式為；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP²=BD•BC，
在中，令x=0時(shí)，則y=﹣4
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）
∵PD∥AC
∴△BPD∽△BAC
∴
∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2
∴，即 
∵BP²=BD•BC，
∴，解得x₁=，x₂=﹣2（不合題意，舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，0）
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（，0）時(shí)，BP²=BD•BC；
（3）∵△BPD∽△BAC，
∴
∴，
又∵，
∴
∵＜0，∴當(dāng)x=1時(shí)，S_△BPC有最大值為3
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大。
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.