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精英家教網如圖,點A是函數y=
1
x
的圖象上的點,點B、C的坐標分別為B(-
2
,-
2
)、C(
2
2
),試利用性質:“函數y=
1
x
的圖象上任意一點A都滿足|AB-AC|=2
2
”求解下面問題:作∠BAC的內角平分線AE,過B作AE的垂線交AE于F,已知當點A在函數y=
1
x
的圖象上運動時,點F總在一個圓上運動,則這圓的半徑為( 。
A、1
B、
2
2
C、
2
D、
3
2
2
分析:本題給出了角平分線,給出了兩條線段的定值差,因此可通過構建等腰三角形作出這個等值差進行求解.
解答:精英家教網解:如圖:過C作CD⊥AF,垂足為M,交AB于D,
∵AF平分∠BAC,且AM是DC邊上的高,
∴△DAC是等腰三角形,
∴AD=AC,
∴BD=AB-AC=2
2
,
即BD長為定值,
過M作MN∥BD于N,
則四邊形MNBD是個平行四邊形,
∴MN=BD,
在△MNF中,無論F怎么變化,有兩個條件不變:
①MN的長為定值,②∠MFN=90°,
因此如果作△MNF的外接圓,那么F點總在以MN為直徑的圓上運動,因此F點的運動軌跡應該是個圓.
∴圓的直徑為MN,且MN=BD,BD=AB-AC=2
2

∴圓的半徑為
2

故選C.
點評:本題以反比例函數為背景,結合了等腰三角形的知識、平行四邊形的知識、直角三角形的知識、三角形外接圓的知識等.綜合性強.在本題中能夠找出AB、AC的等值差以及讓F與這個等值差相關聯(lián)是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,點B是函數y=
2x
(x>0)
圖象上一點,點A是線段OB上一點,以AB為半徑作⊙A恰好與x軸、y軸分別切于點C和點D,則點A的坐標是
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,點M是函數y=x+
1x
圖象上的一點,直線l:y=x,過點M分別作MA⊥y軸,MB⊥l,A,B為垂足,則MA•MB=
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖①,拋物線y=
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2
x2+x-4與x軸的兩個交點分別為A、B,與y軸的交點為C.
(1)請直接寫出點A、B、C的坐標;
(2)如圖①,點Q是函數y=
1
2
x2+x-4的圖象在第三象限上的任一點,點Q的橫坐標為m,設四邊形AQCB的面積為S,求S與m之間的函數關系式,并求出m這何值時,S有最大值,最大值是多少?
(3)拋物線y=
1
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x2+x-4的對稱軸上是否存在一點H,使△BCH的周長最。咳舸嬖,請直接寫出H點坐標;若不存在,請說明理由.
(4)如圖②,若點E為線段BC的中點,EF垂直平分BC交x軸于點F(-3,0),點P是拋物線y=
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x2+x-4對稱軸上的一點,設P點的縱坐標為t,請直接寫出∠PEC為鈍角三角形時t的取值范圍.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,點B是函數y=
1
x
和y=x的圖象在第一象限的交點,點E在函數y=
1
x
的圖象上,過B、E兩點作x軸的垂線,垂足分別為C、F,直線EF與直線y=x交于點D.試判斷DF+EF與2BC的大小,并說明理由.

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