Question

如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（1）求證：PC是⊙O的切線.

（2）若AF=1，OA=，求PC的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC

∵OE⊥AC

∴AE=CE

∴FA=FC

∴∠FAC=∠FCA

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA

即∠FAO=∠FCO

∵FA與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑

∴FA⊥AB

∴∠FCO=∠FAO=90°

∴PC是⊙O的切線

（2）∵PC是⊙O的切線

∴∠PCO=90°

而∠FPA=∠OPC

∠PAF=90°

∴△PAF∽△PCO

∴

∵CO=OA=,AF=1

∴PC=PA

設(shè)PA=，則PC=

在Rt△PCO中，由勾股定理得

解得：

∴PC）