Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2，3）

時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形 （利用備用圖畫圖，直接寫出結(jié)果，不寫求解過程）；
（3）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可將二次函數(shù)的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再代入C點(diǎn)的坐標(biāo)即可，進(jìn)而能得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）已知PQ∥AC，若四邊形PQAC是平行四邊形，那么CP必與AQ平行，即CP與x軸平行，因此點(diǎn)C、P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則P點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（3）四邊形PMAC是個(gè)不規(guī)則的圖形，可以將它的面積分成兩部分：梯形PMOC、△AOC，首先利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而能用未知數(shù)表達(dá)出PM、OC、OM的長(zhǎng)，再根據(jù)上面得出的圖形間的面積和差關(guān)系求出關(guān)于四邊形PMAC的面積與點(diǎn)P橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出四邊形PMAC的最大面積以及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-3），代入C（0，3），得：
3=a（0+1）（0-3），解得：a=-1
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）已知PQ∥AC，若四邊形PMAC是平行四邊形，必有CP∥AQ，即CP∥x軸；（如右圖）
∴點(diǎn)C、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱；
已知C（0，3），拋物線對(duì)稱軸x=1，則P（2，3）．

（3）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

；
∴直線BD的解析式為y=-2x+6．
∵點(diǎn)P在直線PD上，∴設(shè)P（p，-2p+6）．
則OA=1，OC=3，OM=p，PM=-2p+6．
∴S_{四邊形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC=

1

2

•1•3+

1

2

•（3-2p+6）•p=-p²+

9

2

p+

3

2

=-（p-

9

4

）²+

105

16

．
∵1＜

9

4

＜3，∴當(dāng)p=

9

4

時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為

105

16

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

4

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法，解題時(shí)要注重?cái)?shù)形結(jié)合，難度適中．