Question

1．給出如下規(guī)定：兩個圖形G₁和G₂，點(diǎn)P為G₁上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為G₂上任一點(diǎn)，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G₁和G₂之間的距離．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，0），則點(diǎn)B（2，3）和射線OA之間的距離為3，點(diǎn)C（-2，3）和射線OA之間的距離為$\sqrt{13}$；
（2）如果直線y=x+1和雙曲線y=$\frac{k}{x}$之間的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，那么k=-4；（可在圖1中進(jìn)行研究）
（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），將射線OE繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到射線OF，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形M．
①請在圖2中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）．
②將射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，直線y=-2x-4與圖形M的公共部分記為圖形N，請求出圖形W和圖形N之間的距離．

Answer 1

分析 （1）只需根據(jù)新定義即可解決問題；
（2）過點(diǎn)O作直線y=x+1的垂線，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作EG⊥x軸，如圖1，根據(jù)新定義可得直線y=-x和雙曲線y=$\frac{k}{x}$之間的距離就是線段EF的長，如何只需求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出k的值；
（3）①過點(diǎn)O分別作射線OE、OF的垂線OH、OG，如圖2，根據(jù)新定義可得圖形M為x軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)；
②設(shè)直線y=-2x-4與射線OH的交點(diǎn)為M，與射線OG的交點(diǎn)為N，先求得M、N的坐標(biāo)，得出x的范圍，如圖2，圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，-2x-4），根據(jù)新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$的最小值．利用二次函數(shù)的增減性求出d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$的最小值，就可解決問題．

解答 解：（1）點(diǎn)（2，3）和射線OA之間的距離為3，點(diǎn)（-2，3）和射線OA之間的距離為$\sqrt{（-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案分別為：3，$\sqrt{13}$；

（2）∵直線y=x+1和雙曲線y=$\frac{k}{x}$之間的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴k＜0（否則直線y=x+1和雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交，它們之間的距離為0）．
過點(diǎn)O作直線y=x+1的垂線y=-x，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作EG⊥x軸，如圖1，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即點(diǎn)F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則OF=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OE=OF+EF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2$\sqrt{2}$，
則有OG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
故答案為：-4；

（3）①如圖，x軸正半軸，∠GOH的邊及其內(nèi)部的所有點(diǎn)（OH、OG分別與OE、OF垂直），
；
②由①知OH所在直線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，OG所在直線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24+4\sqrt{3}}{11}}\\{y=\frac{8\sqrt{3}+4}{11}}\end{array}\right.$，即點(diǎn)M（-$\frac{24+4\sqrt{3}}{11}$，$\frac{4+8\sqrt{3}}{11}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24-4\sqrt{3}}{11}}\\{y=\frac{4-8\sqrt{3}}{11}}\end{array}\right.$，即點(diǎn)N（-$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$，$\frac{4-8\sqrt{3}}{11}$），
則-$\frac{24+4\sqrt{3}}{11}$≤x≤-$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$，
圖形N（即線段MN）上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，-2x-4），
即圖形W與圖形N之間的距離為d，
d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$
=$\sqrt{5{x}^{2}+16x+16}$
=$\sqrt{5（x+\frac{8}{5}）^{2}+\frac{8}{5}}$
∴當(dāng)x=-$\frac{8}{5}$時，d的最小值為$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即圖形W和圖形N之間的距離$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題屬于新定義型，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、拋物線的增減性、勾股定理、求直線與拋物線的交點(diǎn)等知識，解決本題的關(guān)鍵是對新定義的理解．