Question

15．已知：如圖，QA切⊙O于點(diǎn)A，QB交⊙O于B和C兩點(diǎn)，P是$\widehat{BC}$上任意一點(diǎn)，∠P=105°，∠AOC=64°，求∠Q的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接AC，構(gòu)建四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得：∠BAC=75°，根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系求出∠BOC=2∠BAC=150°，利用周角定義求∠AOB的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出結(jié)論．

解答 解：連接AC，
∵A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠P+∠BAC=180°，
∵∠P=105°，
∴∠BAC=180°-105°=75°，
∴∠BOC=2∠BAC=150°，
∵OB=OC，
∴∠BOC=$\frac{180°-150°}{2}$=15°，
∵∠BOC=150°，∠AOC=64°，
∴∠AOB=360°-150°-64°=146°，
∵OB=OA，
∴∠ABO=∠OAB=17°，
∵QA為⊙O的切線，
在△ABQ中，∴∠Q=180°-17°-15°-17°-90°=41°．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握各性質(zhì)是關(guān)鍵，依次求出△ABQ其它各角的度數(shù)即可．