【答案】
分析:(1)OP
6旋轉(zhuǎn)了6×45°=270°,得到點P
6落在y軸的負半軸,而點P
n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍,故其坐標為P
6(0,-2
6);
(2)根據(jù)兩組對應邊的比相等,且它們的夾角也相等,則這兩個三角形相似得到△P
OP
1∽△P
1OP
2∽△P
n-1OP
n.然后求出S
△P0OP1=
×1×
=
,再求出
,利用相似三角形面積的比等于它們的相似比即可得到△P
5OP
6的面積;
(3)分類討論:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,①當n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在x軸上,此時,點P
n的絕對坐標為(2
n,0);②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在各象限的平分線上,此時,點P
n的絕對坐標為(
×2
n,
×2
n);③當n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在y軸上,此時,點P
n的絕對坐標為(0,2
n).
解答:解:
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律,點P
6落在y軸的負半軸,而點P
n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍,故其坐標為P
6(0,-2
6),即P
6(0,-64);
(2)由已知可得,△P
OP
1∽△P
1OP
2∽△P
n-1OP
n.
設(shè)P
1(x
1,y
1),則y
1=2sin45°=
,
∴
=
×1×
=
,
又∵
,
∴
,
∴
;
(3)由題意知,OP
旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸,在這8次中,點P
n分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上,但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù),因此,點P
n的坐標可分三類情況:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,
①當n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在x軸上,此時,點P
n的絕對坐標為(2
n,0);
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在各象限的平分線上,此時,點P
n的絕對坐標為(
×2
n,
×2
n),即(2
n-1,2
n-1);
③當n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數(shù)),點P
n落在y軸上,
此時,點P
n的絕對坐標為(0,2
n).
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及各象限和坐標軸上的點的坐標特點.