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9.已知,如圖①,在?ABCD中,AB=3cm,BC=5cm.AC⊥AB.△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM,速度為1cm/s;同時,點Q從點C出發(fā),沿CB方向勻速運動,速度為1cm/s,當△PNM停止平移時,點Q也停止運動.如圖②,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4).解答下列問題:

(1)當t為何值時,PQ∥MN?
(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S△QMC:S四邊形ABQP=1:4?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)是否存在某一時刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)先根據(jù)勾股定理求AC=4,根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得:PQ∥AB,列比例式為:CPCA=CQCB,代入可求t的值;
(2)作輔助線,構(gòu)建高線,利用面積法求AE的長,利用勾股定理計算CE的長,證明△CPF∽△CAE,列式可表示PF的長,根據(jù)面積公式計算y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等得:S△PQC=S△MQC,由已知得:S△MQC:S△ABC=1:5,把(2)中的式子代入可求t的值;
(4)如圖2,證明△MQP∽△PFQ,列比例式可求得:PQ2=PM×FQ,由勾股定理相結(jié)合得:PF2+FQ2=PM×FQ,代入列方程可得結(jié)論.

解答 (1)如圖1,在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC=BC2AB2=5232=4,
由平移性質(zhì)可得MN∥AB;
∵PQ∥MN,
∴PQ∥AB,
CPCA=CQCB,
4t4=t5,
解得t=209;
(2)如圖2,作PF⊥BC于點F,AE⊥BC于點E,
由S△ABC=12AB×AC=12AE×BC可得12×3×4=12×5AE,
∴AE=125,
則由勾股定理得:CE=AC2AE2=421252=165,
∵PF⊥BC,AE⊥BC,
∴AE∥PF,
∴△CPF∽△CAE,
所以CPCA=CFCE=PFAE,
4t4=CF165=PF125,
解得:PF=123t5,CF=164t5,
∵PM∥BC,所以M到BC的距離h=PF=123t5
所以,△QCM是面積y=12CQ×h=12×t×123t5=-310t2+65t
(3)∵PM∥BC,
∴S△PQC=S△MQC,
∵S△QMC:S四邊形ABQP=1:4,
∴S△MQC:S△ABC=1:5,
則5(-310t2+65t)=12×4×3,
t2-4t+4=0,
解得:t1=t2=2,
∴當t=2時,S△QMC:S四邊形ABQP=1:4;
 (4)如圖2,∵PQ⊥MQ,
∴∠MQP=∠PFQ=90°,
∵MP∥BC,
∴∠MPQ=∠PQF,
∴△MQP∽△PFQ,
PMPQ=PQFQ,
∴PQ2=PM×FQ,
即:PF2+FQ2=PM×FQ,
由CF=164t5
∴FQ=CF-CQ=169t5,
123t52+169t52=5×69t5
整理得2t2-3t=0,
 解得t1=0(舍),t2=32,
答:當t=32時,PQ⊥MQ.

點評 本題是四邊形的綜合題,考查了平行四邊形、平移、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定,根據(jù)平移的特點,確定等量關(guān)系是關(guān)鍵,可以利用相似列等量關(guān)系,也可以利用已知面積的比列等量關(guān)系,解方程可以解決問題.

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