Question

（1）n為自然數(shù)，若n+6|n³+1996，則稱n為1996的吉祥數(shù)，如4+6|4³+1996，4就是1996年的一個吉祥數(shù)．試求1996年的所有吉祥數(shù)的和．
（2）計算：

12

12-100+5000

+

22

22-200+5000

+…+

k2

k2-100k+5000

+

992

992-9900+5000

．

Answer 1

分析：（1）由于n³+1996的次數(shù)高于n+6的次數(shù)，所以，通過變形將兩個整式整除的問屬轉(zhuǎn)化為一個分式的問題來解決，是解本例的關(guān)鍵；（2）首尾配對，考查一般情形，把數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為分式的運算

解答：解：（1）因n+6|（n³+6³）+1780，而n+6|n³+6³整除，故n+6|1780，得n=4，14，83，172，350，439，884，1774，所以，所有吉祥數(shù)的和為4+14+83+172+350+439+884+1774=3720．
（2）∵

n2

n2-100n+5000

+

(100-n)2

(100-n)2-100(100-n)+5000

=

2n2-200n+10000

n2-100n+5000

=2
∴原式=49×2+1=99

點評：本題考查數(shù)的整除性問題以及對規(guī)律性問題的考查，關(guān)鍵是通過變形將兩個整式整除的問屬轉(zhuǎn)化為一個分式的問題來解決以及首尾配對，把數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為分式的運算．