Question

如圖1，已知：Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB．
（1）如圖1，點D在△ABC外，點E在AB邊上時，求證：AD=CE，AD⊥CE；
（2）若將（1）中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點E在△ABC的內(nèi)部，如圖2，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明；
（3）若將（1）中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點E在△ABC的外部，如圖3，請直接寫出AD，CE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）證明：如圖1所示，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，
∴∠BAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（2）（1）中的結(jié)論AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由為：
證明：如圖2所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（3）AD=CE，AD⊥CE，理由為：
證明：如圖3所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF，
∴∠BCE+∠CMF=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AD⊥CE．
分析：（1）由AB=CB，DB=EB，加上夾角為直角相等，利用SAS可得出△ABD≌△CBE，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等可得出AD=CE，∠BAD=∠BCE，在直角三角形EBC中，兩銳角互余，再由對頂角相等，得到三角形AEF中兩個角互余，可得出CF垂直于AD，得證；
（2）（1）中的結(jié)論AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由為：由一對直角相等，都減去∠ABE，得到∠ABD=∠CBE，再由AB=BC，DB=EB，利用SAS得出△ABD≌△CBE，同（1）可得出AD=CE，AD⊥CE；
（3）結(jié)論為：AD=CE，AD⊥CE，證明方法同上．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）．