Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓M分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（6，0）、B（0，-8）．
（1）求直線(xiàn)AB的解析式；
（2）若有一條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸且經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，頂點(diǎn)C在圓M上，開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線(xiàn)與x軸交于D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△PDE的面積是△ABC面積的

1

5

？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式．
（2）已知了A、B的坐標(biāo)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，不難得出M點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑，據(jù)此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用頂點(diǎn)式二次函數(shù)解析式設(shè)拋物線(xiàn)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出待定系數(shù)的值．也就得出了拋物線(xiàn)的解析式．
（3）先求出三角形ABC的面積（可將三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC兩部分來(lái)求）．然后根據(jù)三角形ABC與三角形PDE的面積比求出三角形PDE的面積．由于三角形PDE中，DE的長(zhǎng)是定值，因此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b
根據(jù)題意，得：

6k+b=0 b=-8

解之，得k=

4

3

，b=-8
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=

4

3

x-8

（2）設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于F，
∵∠AOB=90°，
∴AB為圓M的直徑，即AM=BM，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與y軸平行，OA=6，
∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=3，
作對(duì)稱(chēng)軸交圓M于C，
∴MF是△AOB的中位線(xiàn)，
∴MF=

1

2

BO=4，
∴CF=CM-MF=1，
∵點(diǎn)C（3，1），由題意可知C（3，1）就是所求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
方法一：設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-3）²+1，
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（0，-8），
∴-8=a（0-3）²+1，
解得：a=-1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-3）²+1或y=-x²+6x-8；

方法二：∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（0，-8），
∴可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx-8，
由題意可得：

- b 2a =3 4a？(-8)-b2 4a =1

，
∴a=-1，b=6，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+6x-8；

（3）令-x²+6x-8=0，得x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0），E（4，0），
設(shè)P（x，y），
則S_△PDE=

1

2

•DE•|y|=

1

2

×2|y|=|y|，
S_△ABC=S_△BCM+S_△ACM=

1

2

•CM•（3+3）=

1

2

×5×6=15，
若存在這樣的點(diǎn)P，則有|y|=

1

5

×15=3，
從而y=±3，
當(dāng)y=3時(shí)，-x²+6x-8=3，
整理得：x²-6x+11=0，
∵△=（-6）²-4×11＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)y=-3時(shí)，-x²+6x-8=-3，
整理得：x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴這樣的P點(diǎn)存在，且有兩個(gè)這樣的點(diǎn)：P₁（1，-3），P₂（5，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，難度適中．