Question

已知：如圖，一次函數(shù)y=-x-2的圖象與二次函數(shù)y=2x²+2x-4的圖象與x軸交于同一點A，且與y軸交于點B，設(shè)二次函數(shù)交y軸于點D，在x軸上有一點C，使以點A、B、C組成三角形與△ADB相似．試求出C點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：利用一次函數(shù)解析式求出點B的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)解析式求出點D的坐標(biāo)，并判斷出△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB的長度，∠OAB=∠OBA=45°，然后根據(jù)△ABD中沒有45°的角和∠ABD=135°判斷出∠BAC和∠ABD是對應(yīng)角為135°，從而判斷出點C在點A的左邊，再分AC和BD，AC和AB是對應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AC的長度，再求出OC的長度，從而得解．

解答：解：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點B（0，-2），
二次函數(shù)與y軸的交點為D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是對應(yīng)角為135°，
∴點C在點A的左邊，
①AC和BD是對應(yīng)邊時，∵△ADB∽△BCA，
∴

AC

BD

=

AB

AB

=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
點C的坐標(biāo)為（-4，0），
②AC和AB是對應(yīng)邊時，
∵△ADB∽△CBA，
∴

AC

AB

=

AB

BD

=

2

2

，
∴AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴點C的坐標(biāo)為（-6，0），
綜上所述，在x軸上有一點C（-4，0）或（-6，0），使以點A、B、C組成的三角形與△ADB相似．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題型以及相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難點在于要分情況討論得出所有符合條件的點．