Question

如圖，△ABC中，∠A=60°，角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論：
①∠AEP+∠AFP=180°；②PE=PF；③連接AP，則AP平分∠BAC；④△PFB與△PEC的面積和等于△PBC的面積；⑤AE=AF．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠BPC=120°，利用四邊形的內(nèi)角和定理求出∠AEP+∠AFP=180°，判斷出①正確；從而得到∠BPF=∠CPE=60°，在BC上截取BG=BF，利用“邊角邊”證明△BPF和△BPG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=PG，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BPG=∠BPF=60°，然后求出∠CPG=∠CPE，再利用“角邊角”證明△CPG和△CPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PE=PG，CE=CG，從而得到PE=PF，判斷出②正確，根據(jù)三角形的角平分線相交于一點(diǎn)判斷出③正確；根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)P到AB、BC、AC的距離相等，然后求出④正確；⑤只有在AB=AC時(shí)才成立．

解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
在△BPC中，∠BPC=180°-60°=120°，
∴∠AEP+∠AFP=360°-60°-120°=180°，故①正確；
∠BPF=∠CPE=180°-120°=60°，
在BC上截取BG=BF，
在△BPF和△BPG中，

BF=BG ∠PBF=∠PBG BP=BP

，
∴△BPF≌△BPG（SAS），
∴PF=PG，∠BPG=∠BPF=60°，
∴∠CPG=∠CPE=60°，
在△CPG和△CPE中，

∠PCG=∠PCE CP=CP ∠CPG=∠CPE

，
∴△CPG≌△CPE（ASA），
∴PE=PG，CE=CG，
∴PE=PF，故②正確；
∵角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P，
∴連接AP，則AP平分∠BAC，故③正確；
由題意，點(diǎn)P到AB、BC、AC的距離相等，設(shè)為h，
∴△PFB與△PEC的面積和=

1

2

BF•h+

1

2

CE•h=

1

2

BG•h+

1

2

CG•h=

1

2

BC•h=△PBC的面積，故④正確；
⑤只有在AB=AC時(shí)才成立．
綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．