Question

如圖，一次函數(shù)y=x+m的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，且與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于點(diǎn)C（4，n），CD⊥x軸于D．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿AD、CA向D、A運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=k．
（1）若△APQ與△AOB相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△APQ為等腰三角形？
（3）是否存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵把（4，n）代入反比例函數(shù)y=，得：n=6
把（4，6）代入一次函數(shù)y=x+m，得：m=3
∴一次函數(shù)解析式為：y=x+3．
令x=0，則y=3；令y=0，則x=-4．
∴A（-4，0），B（0，3）．
∴OA=4，OB=3，AC=10，AB=5，
根據(jù)題意，得AP=CQ=k，根據(jù)勾股定理，得AC=10，則AQ=10-k
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△AOB，則=，即=，解得k=，
∴P（，0），
∵點(diǎn)Q在直線AB上，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=×+3=，
∴Q（，）；
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△AQP∽△AOB，則有=，即=，k=．
∴P（，0），
∵點(diǎn)Q在直線AB上，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=×+3=，
∴Q（，）；

（2）①當(dāng)AP=AQ時(shí)，k=10-k，解得，k=5；
②如圖1，當(dāng)PA=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．則易證△AHP∽△AOB，
故有：=，即=，解得k=；
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作BH⊥AD于點(diǎn)H．則易證△AHQ∽△AOB，故有：=，即=，解得k=；
綜上所述，符合條件的k的值是5，或；

（3）不存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值．理由如下：
△ABC的面積=AC•BC=×8×6=24cm²，
假設(shè)存在t使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則點(diǎn)Q到AP的距離為：AQ•sin∠A=（10-k）×=（10-k），
∴△APQ的面積=k•（10-k）=×24，
整理得，k²-10t+40=0，
∵△=（-10）²-4×1×40=-60＜0，
∴此方程無(wú)解，
∴不存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值．
分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得n的值，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求得m的值．則易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；已知△AOB是直角三角形，要使△APQ與△AOB相似，則∠APQ=90°或
∠AQP=90°．根據(jù)題意表示對(duì)應(yīng)的兩條邊，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列方程求解；
（2）根據(jù)當(dāng)AP=AQ時(shí)和當(dāng)PA=PQ時(shí)當(dāng)QA=QP時(shí)，分別得出k的值；
（3）先求出△ACD的面積，然后利用∠A的正弦求出點(diǎn)Q到AP的距離，再根據(jù)△APQ的面積公式列出方程，然后求出根的判別式△＜0，確定不存在．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)；（3）此題運(yùn)用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)列出表達(dá)式代入數(shù)值進(jìn)行求解．解答（1）、（2）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．