Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸公共點的坐標；
（Ⅱ）若a=b=1，且當-1＜x＜1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若此拋物線過點A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此拋物線上有一點P，使它到BC的距離為，求P點坐標；
（Ⅳ）若a+b+c=0，且x₁=0時，對應的y₁＞0；x₂=1時，對應的y₂＞0，試判斷當0＜x＜1時，拋物線與x軸是否有公共點？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得拋物線的解析式，求出兩根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0時可直接求得c的值；求出y的相應的值后可得c的取值范圍；
（Ⅲ）把點A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐標分別代入已知拋物線y=3ax²+2bx+c，求出a，b，c的值，進而得到拋物線的解析式，設與BC：y=-x+3平行的直線l為y=-x+b，可求得l到BC距離為的直線為y=-x+21或者為y=x-15，進而求出點P的坐標；         
（Ⅳ）拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸公共點的個數(shù)就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的實數(shù)根的個數(shù)，因此，本題的解答就是研究在不同的條件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判別式的符號，依據(jù)判別式的符號得出相應的結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）當a=b=1，c=-1時，拋物線為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個根為x₁=-1，x₂=，
∴該拋物線與x軸公共點的坐標是（-1，0）和（，0）；

（Ⅱ）當a=b=1時，拋物線為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點．
對于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，有c≤，
①當c=時，由方程3x²+2x+=0，解得．
此時拋物線為y=3x²+2x+=0與x軸只有一個公共點（-，0），
②當c＜時，x₁=-1時，y₁=3-2+c=1+c，x₂=1時，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1時，該拋物線與x軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，
應有，即
解得-5＜c≤-1．
綜上，c=或-5＜c≤-1．    

（Ⅲ）把點A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐標分別代入已知拋物線y=3ax²+2bx+c得：，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3，
設與BC：y=-x+3平行的直線l為y=-x+b，可求得l到BC距離為的直線為y=-x+21或者為y=x-15，
所以可求得點P坐標為：（-3，24）及（6，15）；
（Ⅳ）對于二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時，y₁=c＞0；x₂=1時，y₂=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0． 
∵關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個公共點，頂點在x軸下方．
又該拋物線的對稱軸，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴．
又由已知x₁=0時，y₁＞0；x₂=1時，y₂＞0，觀察圖象，
可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個公共點．
點評：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點的縱坐標為0；拋物線與x軸交點的個數(shù)就是一元二次方程根的個數(shù)的問題，以及二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征來解決問題．