Question

如圖，已知A（-3，0），B（0，-4），P（m，n）為某一函數(shù)A圖象在第一象限上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．
（1）若函數(shù)A的解析式為：y=-x+5，是否存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）若函數(shù)A的解析式為：，是否存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）∵點P的坐標(biāo)為（m，n），0＜m＜5，0＜n＜5，
由題意可知m+n=5，AC=m+3，BD=n+4，
則n=5-m，
∴S_{四邊形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n）
=-（m-3）²+18，
∴當(dāng) m=3時，四邊形ABCD面積取最大值為18，
四邊形ABCD面積無最小值．
∴存在點P（3，2），使四邊形ABCD面積取得最大值，不存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最小值．

（2）∵點P的坐標(biāo)為（m，n），m＞0，n＞0，
由題意可知mn=12  AC=m+3  BD=n+4，
∴S_{四邊形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n），
=12+（2m+），
=2（-）²+24，
且當(dāng)m=（m＞0），即m=3時，四邊形ABCD面積取最小值為24，
四邊形ABCD面積無最大值．
∴存在點P（3，4），使四邊形ABCD面積取得最小值，不存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最大值．
分析：（1）根據(jù)P點坐標(biāo)得出AC，BD的長，進(jìn)而利用S_{四邊形ABCD}=AC•BD得出有關(guān)m的二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出最值即可；
（2）利用點P的坐標(biāo)為（m，n），由題意可知mn=12 AC=m+3 BD=n+4，得出S_{四邊形ABCD}=AC•BD利用完全平方公式性質(zhì)，進(jìn)而得出四邊形ABCD面積取最小值．
點評：此題主要考查了對角線互相垂直的四邊形面積求法以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)和二次函數(shù)最值問題等知識，根據(jù)已知表示出AC，BD的長是解題關(guān)鍵．