Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，已知B（3，0），tan∠OAC=3．

（1）求拋物線解析式；
（2）將拋物線作適當(dāng)平移，平移后的拋物線始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，設(shè)平移后的拋物線交x軸于M、N兩點(diǎn)，若S_△CMN=2S_△CAB，求平移后的拋物線的解析式；
（3）已知D點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線在第三象限部分上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)E，使點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在直線BD上？若存在，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：計(jì)算題,代數(shù)幾何綜合題,壓軸題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由拋物線的解析式不難判斷出對(duì)稱(chēng)軸方程，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A點(diǎn)坐標(biāo)可求；在Rt△AOC中，已知∠OAC的正切值和OA的長(zhǎng)，那么可以求出OC的長(zhǎng)以及C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法即可確定該拋物線的解析式．
（2）拋物線在平移的過(guò)程中，不變的是開(kāi)口方向和大小（二次項(xiàng)系數(shù)），已知平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么常數(shù)項(xiàng)也不變，所以對(duì)比平移前后的拋物線解析式，變化的只有一次項(xiàng)系數(shù)，可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線；已知S_△CMN=2S_△CAB，它們的高OC相同，所以MN=2AB，設(shè)出M、N的橫坐標(biāo)，結(jié)合MN的長(zhǎng)和根與系數(shù)的關(guān)系解題即可．
（3）若點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在直線BD上，那么直線BE、BD關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)，連接DC，交直線BE于F，由C、D的坐標(biāo)不難看出CD正好和BC垂直，若直線BE、BD關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)，那么點(diǎn)F、D必關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)（CF=CD），首先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²-2ax+b知，對(duì)稱(chēng)軸x=1，已知B（3，0），則A（-1，0）；
在Rt△OAC中，OA=1、tan∠OAC=3，則：OC=3OA=3，即 C（0，-3）；
將A（-1，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax²-2ax+b中，得：

a+2a+b=0 b=-3

，
解得

a=1 b=-3

故拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）依題意，設(shè)平移后的拋物線解析式：y=x²+ax-3，M（m，0）、N（n，0），則：m+n=-a、mn=-3；
∵S_△CMN=2S_△CAB，
∴MN=2AB=8，即：
|m-n|=

(m+n)2-4mn

=8，代入數(shù)據(jù)，得：

a2+12

=8，
解得：a=±2

13

；
故平移后的拋物線解析式：y=x²+2

13

x-3或y=x²-2

13

x-3．

（3）由（1）知，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則：D（1，-4）；
連接DC，并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于F，如右圖；
∵點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線BD上，
∴直線BE、BD關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)；
過(guò)C作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，設(shè)垂足為G；
由C（0，-3）、D（1，-4）可知，CG=GD=1，即△CGD是等腰直角三角形，∠GCD=45°；
又∵OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OCB=∠BCG=45°；
∴∠BCD=∠BCG+∠GCD=90°，
∵直線BE、BD關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)，
∴E、D關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，由C（0，-3）、D（1，-4）知：F（-1，-2）；
設(shè)直線BE的解析式為：y=kx+b，代入B（3，0）、F（-1，-2），得：

-k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=- 3 2

∴直線BE：y=

1

2

x-

3

2

，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

y= 1 2 x- 3 2 y=x2-2x-3

，
解得

x1=3 y1=0

、

x2=- 1 2 y2=- 7 4

∴E（-

1

2

，-

7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、三角形面積的求法以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)；（2）題中，活用二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；最后一題中，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)構(gòu)建出等腰三角形是打開(kāi)解題思路的重要步驟．