11、若x、y為正整數(shù)，使得2xy能整除x2+y2-x，則x為完全平方數(shù)．
分析：先設(shè)x2+y2-x=2kxy（k為整數(shù)），y的值是固定的，根據(jù)判別式為完全平方數(shù)可以證明x是完全平方數(shù)．
解答：證明：設(shè)x2+y2-x=2kxy（k為整數(shù)），
則關(guān)于y的二次方程y2-2kxy+（x2-x）=0的根中有一個(gè)y1（y）是整數(shù)，另一個(gè)y2=2kx-y1也是整數(shù)，
其判別式△=4[k2x2-（x2-x）]=4x[（k2-1）x+1]應(yīng)為完全平方數(shù)．
由于x與（k2-1）x+1互質(zhì)（它們的最大公約數(shù)（x，（k2-1）x+1）=（x，1）=1），
所以，x是完全平方數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查了完全平方數(shù)的問題．其中還考查了判別式和互質(zhì)的問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀材料并解答問題：
我國是最早了解和應(yīng)用勾股定理的國家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．
關(guān)于勾股定理的研究還有一個(gè)很重要的內(nèi)容是勾股數(shù)組，在《幾何》課本中我們已經(jīng)了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)”，以下是畢達(dá)哥拉斯等學(xué)派研究出的確定勾股數(shù)組的兩種方法：
方法1：若m為奇數(shù)（m≥3），則a=m，b=
1
2
（m2-1）和c=
1
2
（m2+1）是勾股數(shù)．
方法2：若任取兩個(gè)正整數(shù)m和n（m＞n），則a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股數(shù)．
（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形；
（2）請根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫下列表格：
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（3）某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構(gòu)成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個(gè)全等的直角三角形組成，要求每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個(gè)三角形最短邊上都植6棵樹，且每個(gè)三角形的各邊長之比為5：12：13，那么這四個(gè)直角三角形的邊長共需植樹
 
棵．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：拋物線M：y=x2+（m-1）x+（m-2）與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＜x2．
（Ⅰ）若x1x2＜0，且m為正整數(shù)，求拋物線M的解析式；
（Ⅱ）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范圍；
（Ⅲ）試判斷是否存在m，使經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與y軸相切于點(diǎn)C（0，2）？若存在，求出m的值；若不存在，試說明理由；
（Ⅳ）若直線l：y=kx+b過點(diǎn)F（0，7），與（Ⅰ）中的拋物線M相交于P，Q兩點(diǎn)，且使
PF
FQ
=
1
2
，求直線l的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若整數(shù)m使
61+m
為正整數(shù)，則m的值為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程kx2-（4k+1）x+4=0．
（1）當(dāng)k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx2-（4k+1）x+4的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k值并用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若（2）中的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．將拋物線向上平移n個(gè)單位，使平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），寫出n的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：
設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．活動(dòng)一：如圖所示，從點(diǎn)A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A1A2為第1根小棒．
數(shù)學(xué)思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：
能
能
．（填“能”或“不能”）
（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1．①θ=
22.5
22.5
度； ②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1，A3A4=a2，），求此時(shí)a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）．

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