Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+m-4（m≠0）與 x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在B，C之間的部分記為圖象G（包含B，C兩點(diǎn)），若直線y=5x+b與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象與y軸的交點(diǎn)，可得m的值，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得M在對(duì)稱(chēng)軸上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)在線段AB上，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)一次函數(shù)圖象與區(qū)域拋物線的交點(diǎn)，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答 解：（1）由題意可得，m-4=-3．∴m=1．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．
（2）如圖，點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是B，
連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P就是使得PA+PC的值最小的點(diǎn)．
由y=x²-2x-3，得對(duì)稱(chēng)軸是x=1，
由B（3，0），C（0，-3），得
直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）．
（3）當(dāng)x=0時(shí)，直線y=5x+b≤-3，
解得b≤-3；
直線y=5x+b與拋物線相切時(shí)，得
x²-7x-（3+b）=0，
49+4（3+b）≥0，
解得b≥-$\frac{61}{4}$，
符合題意的b的取值范圍是-$\frac{61}{4}$≤b≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)綜合題，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出M在對(duì)稱(chēng)軸上是解題關(guān)鍵．