如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=-
52
x+5與x軸交于B點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),直線AC經(jīng)過點(diǎn)D(-2精英家教網(wǎng),3)并交x軸于點(diǎn)A.
(1)試求直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)過點(diǎn)A作BC的垂線交y軸于點(diǎn)E,求證:△AOE≌△COB;
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小?若存在,請(qǐng)畫出圖形并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)先由直線y=-
5
2
x+5與y軸交于C點(diǎn),求出C點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)C、D兩點(diǎn)在直線AC上,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)先求出A點(diǎn)坐標(biāo),得出OA=OC,再運(yùn)用AAS證明即可;
(3)先求出E點(diǎn)坐標(biāo),再作出E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接DF交x軸于點(diǎn)P,則P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最。\(yùn)用待定系數(shù)法求出直線DF的解析式,從而求出P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵直線y=-
5
2
x+5與y軸交于C點(diǎn),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.
∵C、D兩點(diǎn)在直線AC上,
b=5
-2k+b=3
,
解得
k=1
b=5

∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+5;

(2)∵直線AC交x軸于點(diǎn)A,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0),
∴OA=OC.
在△AOE與△COB中,
∵∠AOE=∠COB=90°,∠OAE=∠OCB=90°-∠B,OA=OC,精英家教網(wǎng)
∴△AOE≌△COB;

(3)∵△AOE≌△COB,
∴OE=OB=2,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).
作出E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,則F(0,-2).
連接DF交x軸于點(diǎn)P,則P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小,此時(shí)PD+PE=PD+PF=DF.
設(shè)直線DF的解析式為y=mx+n,
把D(-2,3),F(xiàn)(0,-2)代入y=mx+n,得
-2m+n=3
n=-2
,
解得
m=-
5
2
n=-2

∴直線DF的解析式為y=-
5
2
x-2.
令y=0,得x=-
4
5

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
4
5
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,全等三角形的判定及性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路線問題,綜合性較強(qiáng),難度中等.
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個(gè)位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
(1)以原點(diǎn)O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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(1)△AOB的面積是
6
6

(2)三角形(2013)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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