Question

已知二次函數(shù)的頂點C的橫坐標為1，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，且A點在y軸上，以C為圓心，CA為半徑的⊙C與x軸相切，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若B點的橫坐標為3，過拋物線頂點且平行于x軸的直線為l，判斷以AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系；
（3）在滿足（2）的條件下，把二次函數(shù)的圖象向右平移7個單位，向下平移t個單位（t＞2）的圖象與x軸交于E、F兩點，當(dāng)t為何值時，過B、E、F三點的圓的面積最小？

Answer 1

解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象與二次函數(shù)的圖象交于y軸的A點，
∴A（0，2）；
∵以CA為半徑的⊙C與x軸相切，
∴點C在x軸上方，可設(shè)C（1，y），則有：
y²=（1-0）²+（y-2）²，解得 y=
即：頂點C（1，）；
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-1）²+，代入A（0，2），有：
a（0-1）²+=2，解得 a=
∴二次函數(shù)的解析式：y=（x-1）²+=x²-x+2．

（2）當(dāng)x=3時，y=（x-1）²+=×4+=，即 B（3，）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中點（，），AB==；
過點C且平行于x軸的直線l：y=，所以以AB為直徑的圓心到直線l的距離為：-==AB；
因此以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）二次函數(shù)平移后的解析式為y=（x-8）²+-t，
令y=0，即 （x-8）²+-t=0，解得：x=8±；
假設(shè)E（8-，0）、F（8+，0），EF的中垂線為x=8；
過B、E、F三點的圓心在x=8上，若過B、E、F三點的圓的面積最小，只需點B到直線x=8的距離最小，即最小值為5；
過B作直線x=8的垂線，垂足P即為圓心，半徑r=5；
則PE=5，EF=，ES=EF=；
由PS²+ES²=PE²，得：（）²+（4t-5）=5²，
解得：t=；
即：當(dāng)t=時，過B、E、F三點的圓的面積最�。�
分析：（1）由于點A在y軸上，根據(jù)一次函數(shù)的解析式（主要注意常數(shù)項）即可得到點A的坐標，所以要求出二次函數(shù)的解析式，還必須知道頂點C的具體坐標；已知以C為半徑的圓與⊙C相切，那么點C必在x軸的上方，且點C到x軸的距離（即C點的縱坐標值）與CA的長相同，可據(jù)此確定出點C的坐標；然后先將二次函數(shù)的解析式設(shè)為頂點式，再代入點A的坐標后可得解．
（2）已知點B的橫坐標，代入（1）的二次函數(shù)解析式中可得到點B的坐標，以AB為直徑的圓的圓心必為線段AB的中點，A點坐標已知，則圓心坐標可求，判定圓心到直線l的距離是否與AB長的一半相等即可．
（3）首先根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，令函數(shù)值為0后可得到點E、F的坐標（用含t的式子表達）；題目要求的是過B、E、F三點的圓的面積最小，那么這個圓的半徑應(yīng)該最小，可根據(jù)這個思路來解題；設(shè)這個圓的圓心為P，那么PB=PE=PF=r_P，所以點P必在線段EF的中垂線上，如果半徑r_P最短，那么PB的長最短，通過圖示我們可以看出，當(dāng)BP垂直于EF的中垂線時（即BP為點B到EF中垂線的垂線段），BP的長最短，可據(jù)此確定圓心P的坐標，然后由PE=BP列方程求得t的值．
點評：此題是圓與函數(shù)的綜合題，主要涉及了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、直線與圓的位置關(guān)系、三角形的外接圓等重要知識點；題目的難點在于最后一題，將三角形外接圓的面積最小問題轉(zhuǎn)化為半徑長的問題是突破此題的關(guān)鍵所在．