Question

【題目】定義：如圖1，點(diǎn)把線段分割成,若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱是線段的勾股點(diǎn)。

(1)已知點(diǎn)是線段的勾股點(diǎn)，若,求的長(zhǎng)。

(圖1) （圖2） （圖3）

(2)如圖2，點(diǎn)是反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交與兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別向軸作垂線，垂足為，且交線段于。試證明：是線段的勾股點(diǎn)。

(3)如圖3，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交與兩點(diǎn)，與二次函數(shù)交與兩點(diǎn)，若是線段的勾股點(diǎn)，求的值。

Answer 1

【答案】(1) 或者;(2)見(jiàn)解析;(3)

【解析】分析：(1) 分兩種情況:①當(dāng)MN為最大線段時(shí),由勾股定理求出BN;②當(dāng)BN為最大線段時(shí),由勾股定理求出BN即可;(2)根據(jù)題意可得點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)，并得出△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得BF、AE、EF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出從而得證;(3) 過(guò)C作CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F, 設(shè)C，D,由根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式可得，由OE+OF=3，OB=3可得OE=BF，由△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形，可得AC=BD，由AC=BD=a=，EF=，可得m的值.

詳解：（1）由題意，BN為斜邊時(shí)，BN=

BN為直角邊時(shí)，BN=

∴ BN的長(zhǎng)為或者.

（2）易知A（2,0），B（0,2）且P（a,b）由題意知E（a,-a+2），且△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形.

∴ BF==，AE=，EF=

可求出,∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn).

（3）由題意，∵C、D為A、B的勾股點(diǎn)，所以C、D必在A、B之間,

過(guò)C作CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F。

由題意，設(shè)C，D

聯(lián)立,得

∴ ,

且

∴OE+OF=3

又∵OF+BF=3 ∴OE=BF

∵以AC、CD、BD為斜邊的三個(gè)三角形都為等腰直角三角形。

∴ AC=BD

則由題意必有 且 ,

設(shè)AC=BD=a,則CD=，又AB=

∴

∴EF= ,

∴

解得