Question

【題目】如圖，AB丄CD于點(diǎn)E,且AB = CD = AC,若點(diǎn)I是三角形ACE的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).下列結(jié)論：①∠AIC= 135°;②BD = BI,③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正確的是_________（填序號）.

Answer 1

【答案】①

【解析】

由點(diǎn)I是角平分線的交點(diǎn)得到∠CAI+∠ACI =(∠CAE+∠ACE)=×90°=45°，故∠AIC=180°- （∠CAI+∠ACI）=135°，即可判斷①；分別過I點(diǎn)作AB,AC,CD的垂線交于G,H,Q點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)I是角平分線的交點(diǎn)得到IG=IH=IQ,再利用三角形全等得到AH=AG,GE=QE,HC=QC，又AB = CD = AC，故可得DQ=AG=AH，故可證明△AIG≌△DIQ,△QIC=≌△GIB，不能得到BG=DE，從而不能得到BD=BI，故可判斷②；S△AIC= S△AIH + S△CIH= S△DIQ + S△CIQ,由于不能證明P點(diǎn)為CD中點(diǎn)，故S△CPI ≠ S△DPB，

故可判斷③S△AIC = S△BID錯誤；F點(diǎn)為BD中點(diǎn)，要想證明IF⊥AC，只需證明H、I、F共線，題設(shè)中條件不足以證明，故可判斷④.

∵點(diǎn)I是角平分線的交點(diǎn)

∴∠CAI+∠ACI =(∠CAE+∠ACE)=×90°=45°，

則∠AIC=180°- （∠CAI+∠ACI）=135°，①正確；

分別過I點(diǎn)作AB,AC,CD的垂線交于G,H,Q點(diǎn)，

根據(jù)點(diǎn)I是角平分線的交點(diǎn)得到IG=IH=IQ,

又AI=AI,∠GAI=∠HAI，故△AGI≌△AHI

同理△HIC≌△QIC

故AH=AG,GE=QE,HC=QC，

又AB = CD = AC，故可得DQ=AG=AH,

由AC=DC,∠ACI=∠DCI,IC=IC,得△ACI≌△DCI，

∴AI=DI,又∵GI=QI，所以RT△AIG≌RT△DIQ,

同理可得：△QIC≌△GIB，

∴BG=AB-AG.DE=CD-CE

不能得到BG=DE,∴△BGI與△DEB不全等，故②錯誤；

∵S△AIC= S△AIH + S△CIH= S△DIQ + S△CIQ,

由于不能證明P點(diǎn)為CD中點(diǎn)，故③S△AIC = S△BID錯誤；

F點(diǎn)為BD中點(diǎn)，要想證明IF⊥AC，只需證明H、I、F共線，題設(shè)中條件不足以證明，故④錯誤.

故填：①.