Question

（2013•吉安模擬）如圖，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，BC=4，若點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），且0＜AE≤2，沿BE將△ABE對(duì)折后，點(diǎn)A落到點(diǎn)P處，連接PC．
（1）下列說(shuō)法正確的序號(hào)是

①②④

①．△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱
②．以B為圓心、BA的長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于H，則點(diǎn)P在AH上（點(diǎn)A除外）
③．線段PC的長(zhǎng)有可能小于2．
④．四邊形ABPE有可能為正方形
（2）試求下列情況下的線段PC的長(zhǎng)（可用計(jì)算器，精確到0.1）．
①以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
②直線CP與BE垂直．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，以及圓的定義即可作出判斷；
（2）①以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況，點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)和點(diǎn)P在CD的中垂線上兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過(guò)P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的長(zhǎng)；
②設(shè)CP⊥BE于G，則△PGB∽△BPE，△EAB∽△BGC，根據(jù)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱，則正確；
②根據(jù)BA=BP=BH可得：點(diǎn)P在弧AH上；
③當(dāng)AE=AB=2時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P在BC上，則PC=2，四邊形ABPE是正方形，故③錯(cuò)誤，④正確．

（2）①以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況．
第1種情況：如答圖1，點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2種情況：點(diǎn)P在CD的中垂線上時(shí)，PD=PC，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過(guò)P作PF⊥BC于F，
則四邊形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=

3

，
∴FC=4-

3

，
PC²=（4-

3

）²+1²，
∴PC≈2.5．
②如答圖2，設(shè)CP⊥BE于G，
∵BP⊥EP．
∴△PGB∽△BPE．

PG

BP

=

BP

BE

∴BG•BE=4…①
又∵∠AEB=∠EBC，∠EAB=∠BGC=90°，△EAB∽△BGC
∴

BE

BC

=

AE

BG

，
BE•BG=4•AE…②
由①、②得AE=1
∴PE=AE=1，
∴BE=

5

，BG=

4

BE

=

4

5

，
又∵PG×BE×

1

2

=PE•PB×

1

2

∴PG=

2

5

，CG²=4²-（

4

5

）²
∴CG=

8

5

∴PC=CG-PG=

8

5

-

2

5

=

6 5

5

≈2.7．
故答案是：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，以及三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)三角形的面積求得CG是關(guān)鍵．