Question

4．若直線y=kx與曲線y=lnx有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（0，\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，可看出位于直線和曲線相切和x軸之間的直線滿足和曲線y=lnx有兩個(gè)公共點(diǎn)，可設(shè)切點(diǎn)為（x₀，kx₀），而斜率$k=\frac{1}{{x}_{0}}$，從而求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而便可求出x₀=e，得出k，從而得出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：如圖，直線y=kx和曲線y=lnx相切時(shí)，直線和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)公共點(diǎn)，直到與x軸重合又變成一個(gè)公共點(diǎn)；
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，kx₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$；
∴切點(diǎn)為（x₀，1）；
∴1=lnx₀；
∴x₀=e；
∴k=$\frac{1}{e}$；
∴0$＜k＜\frac{1}{e}$；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（0，\frac{1}{e}）$．
故答案為：$（0，\frac{1}{e}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)在其圖象上某點(diǎn)的切線斜率和函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題的方法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系．