Question

9．已知△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°．
（1）如圖1，若OC是等腰Rt△ABC的底邊AB上的高，等腰Rt△DEF的頂點D在邊AB上，F(xiàn)在OC上，連接BF、CD，求證：BF=CD．
（2）若將圖1中的等腰Rt△DEF繞點O旋轉到圖7所示的位置，（1）中的結論在成立嗎？若成立請給出證明，若不成立，請說明理由；
（3）若將圖2中的等腰Rt△DEF平移到如圖3所示的位置，即使點D與點O重合，然后延長DF、DE分別交AC于G，CB于H，請判斷FG與EH是否相等？為什么？

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質得出∠COB=90°，∠B=45°，∠OCB=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB，同理：OD=OF，由SAS證明△DOC≌△FOB，即可得出結論；
（2）連接OD，證出∠DOC=∠FOB，由SAS證明△DOC≌△FOB，即可得出結論；
（3）證出∠CDG=∠BDH，由ASA證明△CDG≌△BDH，得出對應邊相等DG=DH，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵OC是等腰Rt△ABC的底邊AB上的高，
∴∠COB=90°，∠B=45°，∠OCB=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB，
同理：OD=OF，
在△DOC和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}&{\;}\\{∠COD=∠BOF=90°}&{\;}\\{OC=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△FOB（SAS），
∴BF=CD；
（2）解：（1）中的結論在成立；理由如下
連接OD，BF，如圖所示：
∵∠DOC=∠DOF+∠FOC=90°+∠FOC，∠FOB=∠COB+∠FOC=90°+∠FOC，
∴∠DOC=∠FOB，
在△DOC和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}&{\;}\\{∠COD=∠BOF=90°}&{\;}\\{OC=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△FOB（SAS），
∴BF=CD；
（3）FG=EH，理由如下：
∵∠BDC=∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠BDH，
在△CDG和△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠B=45°}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠CDG=∠BDH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BDH（ASA），
∴DG=DH，
又∵DF=DE，
∴FG=EH．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．