Question

（12分）如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)， 與y軸交于C點(diǎn)。

（1）請(qǐng)求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（6分）

（2）經(jīng)探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個(gè)比值；（6分）

Answer 1

（1）M的坐標(biāo)為（1，m），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1,0）、（3,0） （2）1:2

【解析】

試題分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）易求得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到OC的長(zhǎng)，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無(wú)法直接求得，可用割補(bǔ)法求解，過(guò)M作MD⊥x軸于D，根據(jù)B、C、M四點(diǎn)坐標(biāo)，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進(jìn)而可得到△ABC、△BCM的面積比

試題解析：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m（x2―2x―3）＝m（x－1）2―4m，

∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4m），

∵拋物線y＝mx2―2mx―3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，mx2―2mx―3m＝0，

∵m＞0，

∴x2―2x―3＝0，

解得x1＝－1，x,2＝3，

∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1,0）、（3,0）.

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝―3m，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－3m），

∴S△ABC＝×|3－（－1）|×|－3m|＝6|m|＝6m，

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于D，

則OD＝1，BD＝OB－OD＝2，

MD＝|－4m |＝4m.

∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC

=

=

=3m．

∴S△BCM：S△ABC=1：2

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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