Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點E為AB的中點，過點E作ED⊥BC于D，F(xiàn)在DE的延長線上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四邊形ACEF的面積．

Answer 1

【答案】分析：過點E作EH⊥AC于H．根據(jù)全等三角形的判定定理ASA判定△AEF≌△EAC；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等推知EF=AC；結(jié)合已知條件知EF∥AC，所以根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得四邊形EFAC是平行四邊形；在直角三角形ABC中根據(jù)勾股定理求得BC的長度，從而知2EH=BC，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．
解答：解：過點E作EH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，AE=BE，
∴AE=BE=CE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
∴∠EAC=∠ECA（等邊對等角）．
∵AF=CE（已知），
∴AE=AF（等量代換），
∴∠F=∠FEA（等邊對等角）．
∵ED⊥BC（已知），
∴∠BDF=90°，BD=DC．
∴∠BDF=∠ACB=90°．
∴FD∥AC，∴∠FEA=∠EAC．
∴∠F=∠ECA．
∵AE=EA，
∴△AEF≌△EAC，∴EF=AC，
∴四邊形FACE是平行四邊形；
∵EH⊥AC，∴∠EHA=90°．
∵∠BCA=90°，∠EHA=∠BCA．
∴BC=，EH∥BC．
∴AH=HC．
∴EH=BC=2，
∴S_{平行四邊形ACEF}=AC×EH=2×2=4．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．