Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)C（28，28）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、A，一次函數(shù)y=

3

4

x+3的圖象分別與x軸和CB交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)P 是DE中點(diǎn)，連接AP．
（1）求證：△ADO≌△AEC；
（2）求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意即可求得D（-4，0），E（28，24），從而求得OD=CE，然后根據(jù)SAS即可求得結(jié)論．
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求得∠EAC=∠DAO，進(jìn)而求得∠DAE=90°．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得AP=

1

2

DE．根據(jù)勾股定理求得DE=40，即可求得AP的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：把y=0，代入y=

3

4

x+3得，0=

3

4

x+3，解得x=-4，
∴D（-4，0），
把x=28代入y=

3

4

x+3得，y=24，
∴E（28，24），
∵C（28，28），
∴CE=28-24=4，
∵OD=4，
∴OD=CE，
在△ADO與△AEC中

CE=DO=4 ∠C=∠AOD=90° AC=AO=28

∴△ADO≌△AEC（SAS）．

（2）解：∵△ADO≌△AEC，
∴∠EAC=∠DAO，
∴∠EAC+∠OAE=∠DAO+∠OAE=90°，
∴∠DAE=90°．
∵P為DE中點(diǎn)，
∴AP=

1

2

DE．
在Rt△DBE中，DE²=BD²+BE²=24²+32²=1600，
∴DE=40，
∴AP=20．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，直角三角形中線的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．