Question

已知：如圖，邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在上運(yùn)動，但與A、C兩點(diǎn)不重合，連接AD并延長交BC的延長結(jié)于P．
（1）則⊙O的半徑為_________；
（2）設(shè)AD為x，AP為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=_________，自變量x的取值范圍為_________；
（3）D點(diǎn)在運(yùn)動過程中是否存在這樣的位置，使得△BDP成為以DB、DP為腰的等腰三角形？若存在，請你求出此時AD的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過O作OOE⊥于E，連接OA
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=
∴
∴OA=2；
（2）連接CD，則∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
∴AC²=AD·AP
∴y==（0＜x＜2）；
（3）假設(shè)D點(diǎn)在運(yùn)動的過程中存在這樣的位置，使得△DBP成為以DB，DP為腰的等腰三角形，那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°，∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∵CD⊥BP
∴DB是圓的直徑，BD=4，DP=4
∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4
即x²+4x-12=0
∵△=4²﹣4 ×（-12）=64＞0
∴關(guān)于x的方程x²+4x-12=0有兩個不相等的實(shí)根，說明假設(shè)成立
∴x₁=2，x₂=-6（線段不能為負(fù)，舍去）
∴D點(diǎn)在運(yùn)動的過程中存在這樣的位置：即當(dāng)AD=2時，△BDP成為以BD，PD為腰的等腰三角形。