Question

（2013•槐蔭區(qū)二模）如圖，點(diǎn)P是雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓與直線y=x的交點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)⊙P與x軸和y軸都相切時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上運(yùn)動，當(dāng)弦AB的長等于2

3

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出點(diǎn)P到x軸和y軸的距離都是2，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時，以及點(diǎn)P在直線l下方時，分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵⊙P與x軸和y軸都相切，半徑為2，
∴點(diǎn)P到x軸和y軸的距離都是2，
∴點(diǎn)P（2，2），
∴2=

k

2

，
∴k=4，
∴雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為：y=

4

x

．

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n），
當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時，
如圖1，作PC⊥AB于點(diǎn)C，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PD與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)PB，
∴C是AB中點(diǎn)，
∴BC=

3

，
∴PC=

PB2-BC2

=

4-3

=1，
∵點(diǎn)E在直線y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=

2

PC=

2

，
∴n=PD=DE+PE=m+

2

，
∵點(diǎn)P在雙曲線y=

4

x

上，
∴mn=4，
∴m（m+

2

）=4，
解得：m₁=

2

，m₂=-2

2

，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴m=

2

，
∴n=2

2

，
∴點(diǎn)P（

2

，2

2

），
設(shè)點(diǎn)P（m，n），
點(diǎn)P在直線l下方時，
如圖2，作PC⊥AB于點(diǎn)C，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PD與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)PA，
∴C是AB中點(diǎn)，
∴AC=

3

，
∴PC=

PA2-AC2

=

4-3

=1，
∵點(diǎn)E在直線y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=

2

PC=

2

，
∴n=PD=DE-PE=m-

2

，
∵點(diǎn)P在雙曲線y=

4

x

上，
∴mn=4，
∴m（m-

2

）=4，
解得：m₁=-

2

，m₂=2

2

，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴m=2

2

，
∴n=

2

，
∴點(diǎn)P（2

2

，

2

），
∴綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

，2

2

）或（2

2

，

2

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相切的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．