Question

如圖，BA、BC為⊙O的弦，且BA=BC，BA⊥BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形OEBF是正方形；
（2）若D點(diǎn)為

AC

的中點(diǎn)，連接AF并過D點(diǎn)作DM⊥AF于點(diǎn)M，過B點(diǎn)作BN⊥AF于點(diǎn)N．
①試猜想線段DM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
②若⊙O的半徑為2

2

，求DM的長．

Answer 1

分析：（1）四邊形OEBF中，有四個角是直角，所以四邊形是矩形，又因?yàn)锽E=BF，所以矩形OEBF是正方形．
（2）①連接AD，根據(jù)已知條件，易證△ABN≌△DAM，所以DM=AN，AM=BN，所以NM=AN-AM=DM-BN．
②若已知⊙O的半徑，可以求出AB=BC=4，所以BE=OE=OF=BF=2，所以可求出AF=2

5

，進(jìn)而求出DM=AN=

8 5

5

．

解答：解：（1）∵BA⊥BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，
∴∠OEB=∠OFB=∠FBE=∠BEO=90°，BE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴四邊形OEBF是矩形，
又BA=BC，
∴BE=BF，
∴四邊形OEBF是正方形．

（2）①連接AD，如圖示，
∵AB=BC，
弧AB=弧BC，
∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，
∴弧DC=弧AB=弧AD，
∴∠DAC=∠C，AD=AB，
∠BFA=∠C+∠FAC，∠MAD=∠DAC+∠FAC，
∴∠BFA=∠MAD，
而∠BFA=∠ABN，
∴∠ABN=∠MAD，
又因?yàn)椤螦NB=∠DMA=90°，
∴△ABN≌△DAM，
∴DM=AN，AM=BN，
∴NM=AN-AM=DM-BN，
即NM=DM-BN．
②∵⊙O的半徑為2

2

，
∴AB=BC=4，
∴BE=OE=OF=BF=2，
根據(jù)勾股定理，AF=

42+22

=2

5

，
∴BF²=NF²•AF²，即2²=NF²•（2

5

）²，
解得NF=

2 5

5

，所以DM=AN=

8 5

5

．

點(diǎn)評：本題主要應(yīng)用垂徑定理和相似形的知識解題，此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．