Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，△AOB為直角三角形，∠ABO=90°，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，2）．將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′．
（1）求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）將△AOB以每秒1個(gè)單位的速度沿著x軸向右平移，問：幾秒鐘后，點(diǎn)B移動(dòng)到直線A′B′上？；
（3）在第（2）小題的移動(dòng)過程中，設(shè)移動(dòng)x秒后，△AOB與△A′OB′的重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）通過作BC⊥AO，利用點(diǎn)B的坐標(biāo)求出BC、BO、CO的長，根據(jù)三角形相似求出OA的長，從而求出A'的坐標(biāo)．
（2）利用三角形全等和相似求出B'的坐標(biāo)．求出A'B'的解析式，根據(jù)平移的性質(zhì)，可以知道點(diǎn)B移動(dòng)路徑的解析式為y=2，求出連直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以知道在平移中走的路程，從而求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）利用三角形相似求出移動(dòng)過程中重疊部分的面積，關(guān)鍵是在移動(dòng)的過程中涉及兩個(gè)不同的解析式，是一個(gè)分段函數(shù)，根據(jù)0≤t≤2.5和2.5＜t≤5，兩種情況進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）作BC⊥AO于點(diǎn)C．
∴∠ACB=∠BCO=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠CBO=90°，
∴∠A=∠CBO，
∴△ABC∽△BOC，
∴

AC

BC

=

BC

OC

，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，2）．
∴OC=1，BC=2，
∴

AC

2

=

2

1

，
∴AC=4，
∴AO=5，
∴A′0=5，
∴A′（0，5）；

（2）連接BB′，作BF⊥BC交A′B′于F，作FE⊥x軸于E，B′D⊥x軸于點(diǎn)D．
∴由（1）知BF的解析式為y=2，由旋轉(zhuǎn)可知△BOB′為等腰直角三角形．
∴△BOC≌△OB′D，
∴BC=OD，OC=B′D，
∴OD=2，B′D=1，
∴B′（2，1）．
設(shè)直線A′B′的解析式為：y=kx+b，
由題意得：

5=b 1=2k+b

，
解得：

k=-2 b=5

，
直線A′B′的解析式為：y=-2x+5
∵BF的解析式為：y=2，可以求得F（

3

2

，2）．
∴OE=

3

2

，
∴EC=

5

2

．
∴

5

2

秒鐘后，點(diǎn)B移動(dòng)到直線A′B′上．

（3）∵直線A′B′的解析式為：y=-2x+5，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=2.5．
∴當(dāng)0≤x≤2.5時(shí)，由題意得：
OO′=x，F(xiàn)O=5-x，
在Rt△AOB中，由勾股定理可以求出：
BO=

5

，AB=2

5

．
∵△FHO∽△AOB，
∴

HO

BO

=

FO

AB

，
∴

HO

5

=

5-x

2 5

，
解得：HO=

5-x

2

．
利用△ABO∽△OGO′求得：
GO′=

5 x

5

，GO=

2 5 x

5

，
y₁=

2 5 ×  5

2

-

(5-x) 5-x 2

2

-

5 x 5 • 2 5 x 5

2

y₁=-

9

20

x2+

5

2

x-

5

4

當(dāng)2.5＜x≤5時(shí)，ON=5-x，△NOM∽△ABO，
∴

MO

5

=

5-x

2 5

，
解得：MO=

5-x

2

，
A′M=

5+x

2

，
y₂=

2 5 × 5

2

-

(5-x) 5-x 2

2

 -

5 5 +  5 x 10 • 5 5 + 5 x 5

2

y₂=-

3

10

x2+2x-

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了旋轉(zhuǎn)，平移，三角形全等，三角形相似以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．難度較大．