Question

如圖，C為線段BD上一點，以BC、CD分別為腰作等腰三角形ABC、CDE，如圖一，且AC=BC=a，CD=CE=b（b＞a）

（1）當(dāng)∠ACB=∠DCE=60°時，易知AD=BE，如果此時將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a°（0＜a＜60），如圖二，那么AD=BE仍成立嗎？為什么？
（2）當(dāng)∠DCE=45°時，如果△ACB由圖一繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a°（0＜a＜60°）得圖三，仍有AD=BE成立，那么∠ACB為多少度？為什么？
（3）△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，請你猜想：何時，線段AD的長度最大、最小值？其最大、最小值是多少？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠BCE=∠ACD，即可證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）易證△ACD≌△BCE，即可證明∠BCE=∠ACD，即可求得∠ACB=∠DCE，即可解題；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得AD的最大值和最小值情況，即可解題．

解答：證明：（1）成立，
∵△ABC和△CDE為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=60°，
∴△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△ACD≌△BCE，（SAS）
∴AD=BE；
（2）在△ACD和△BCE中，

BC=AC AD=BE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE=45°；
（3）B、C、D在一條直線上，
當(dāng)C在B、D之間時，AD長度有最大值，為b+a；
當(dāng)B在C、D之間時，AD長度有最小值，為b-a．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．