Question

以邊長為a的正方形ABCD的對角線AC長為半徑，以點A為圓心作弧交AB邊的延長線于點E，交AD邊的延長線于點F，得扇形AECF，把扇形AECF的面積稱為正方形ABCD面積的擴展；再以線段AE為一邊作正方形AEGH，以對角線AG的長為半徑，點A為圓心畫弧交AE邊的延長線于點M，交AH邊的延長線于點N，得扇形AMGN，則扇形AMGN的面積是正方形AEGH面積的擴展，按此法依次進行到如圖所示，叫做正方形ABCD面積的第一次擴展．按這種方法可進行第二次擴展，直到第n次擴展
（1）求第一次擴展中各扇形面積之和S₁；
（2）求第二次擴展中各扇形面積之和S₂（第二次擴展的第一個正方形是以第一次擴展的最后一個扇形半徑為邊長的正方形）；
（3）求第n次擴展中各扇形面積之和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式和勾股定理可計算出扇形的面積；
（2）分別計算出各扇形的半徑，利用扇形面積公式計算；
（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，第二次是第一次的16倍，所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．

解答：解：（1）根據(jù)勾股定理可知半徑為

2

a；
第一次擴展半徑為2a；
第三次擴展的半徑為2

2

a；
第四次為4a；
根據(jù)扇形面積可知第一次擴展中各扇形面積之和
S₁=

90π×2a2

360

+

90π×4a2

360

+

90π×8a2

360

+

90π×16a2

360

=

15

2

a²π．

（2）第二次擴展中各扇形的半徑分別是

32

a，8a，

128

a，16a，
根據(jù)扇形面積可得第二次擴展中各扇形面積之和
S₂=

90π×32a2

360

+

90π×64a2

360

+

90π×128a2

360

+

90π×256a2

360

=120πa²．

（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．
所以第n次擴展中各扇形面積之和S_n=

15

2

16^n-1πa²．

點評：在第一二次中主要是根據(jù)扇形的面積公式計算，在第三次中卻要從第一次和第二次中找到規(guī)律進行計算．