Question

（2009•九龍坡區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）求△ACD外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）由圓O的圓周角∠ACB=90°，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦為圓的直徑得到AD為圓O的直徑，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得三角形ADE為直角三角形，又AD是△ABC的角平分線，可得一對(duì)角相等，而這對(duì)角都為圓O的圓周角，根據(jù)同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等可得CD=ED，利用HL可證明直角三角形ACD與AED全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得得出AC=AE，進(jìn)而得出BE的長(zhǎng)；
（2）由第一問的結(jié)論AE=AC，用AB-AE可求出EB的長(zhǎng)，再由（1）∠AED=90°，得到DE與AB垂直，可得三角形BDE為直角三角形，設(shè)DE=CD=x，用CB-CD表示出BD=12-x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為CD的長(zhǎng)，在直角三角形ACD中，由AC及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出外接圓半徑．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對(duì)的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角），
又AD是△ABC的角平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=

52+122

=13，
∴BE=13-AC=13-5=8；

（2）由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，
設(shè)CD=DE=x，則DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD²=BE²+ED²，
即（12-x）²=x²+8²，
解得：x=

10

3

，
∴CD=

10

3

，又AC=5，△ACD為直角三角形，
∴根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

5 13

3

，
根據(jù)AD是△ACD外接圓直徑，
∴△ACD外接圓的半徑為：

5 13

3

×

1

2

=

5 13

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，本題的思路為：根據(jù)圓周角定理得出直角，利用勾股定理構(gòu)造方程來求解，從而得到解決問題的目的，靈活運(yùn)用圓周角定理及勾股定理是解本題的關(guān)鍵．