Question

如圖，已知點A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，其中m，n是一元二次方程
x²-2ax+a²-1=0的兩根
（1）寫出m與n的數(shù)量關(guān)系______；并求出a的值；
（2）設(shè)直線AB與x軸交于點C，AD⊥x軸于D點，E點與C點關(guān)于直線AD對稱，連接EB交AD于P點，求AP的長度．

Answer 1

解：（1）將點A（1，m），B（2，n）代入反比例函數(shù)得，
m=k₁，n=，
即m=2n，
又∵m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的兩根，
∴m+n=2a，mn=a²-1，
組成方程組得，
解得a=±3．
當(dāng)a=-3時，原方程可化為x²+6x+8=0，此時，m+n=-6，與圖中所示m、n均為正數(shù)數(shù)矛盾，故a=3．
此時，解得2n²=8，n=±2；由于n為正數(shù)，故n=2，此時，m=4．
（2）由（1）計算可知，點A（1，4），B（2，2），反比例函數(shù)解析式為y=．
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A（1，4），B（2，2）分別代入解析式得，
解得，
函數(shù)解析式為y=-2x+6．
當(dāng)y=0時，-2x+6=0，x=3，即C點坐標(biāo)為（3，0）．由于E點與C點關(guān)于直線AD對稱，D點坐標(biāo)為（1，0），
則E點坐標(biāo)為（-1，0）．
設(shè)EB的解析式為y=cx+t，把E（-1，0）、B（2，2）分別代入解析式得，
解得，函數(shù)解析式為y=x+．
當(dāng)x=1時，y=，即P點坐標(biāo)為（1，），AP=4-=．
分析：（1）將點A（1，m），B（2，n）代入反比例函數(shù)得，m=k₁，n=，即可求出m、n的關(guān)系式，再根據(jù)m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的兩根，求出m、n與a的關(guān)系式，列方程組求出a的值；進(jìn)而求出m、n的值及a的值．
（2）由（1）計算可知，點A（1，4），B（2，2），據(jù)此求出反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出C點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求出E點坐標(biāo)，進(jìn)而得到一次函數(shù)EB的解析式，再求出P點坐標(biāo)，從而得到AP的長度．
點評：本題考查了與反比例函數(shù)相關(guān)的問題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)與函數(shù)圖象的關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真對待．