【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA、EC.
(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;
(2)若點P在線段AB上.
①如圖2,連接AC,當P為AB的中點時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;
②如圖3,設AB=a,BP=b,當EP平分∠AEC時,求a:b及∠AEC的度數(shù).
【答案】
(1)
解:∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形,
∴AB=BC,BP=BF,
∴AP=CF,
在△APE和△CFE中,
,
∴△APE≌△CFE,
∴EA=EC;
(2)
解:①∵P為AB的中點,
∴PA=PB,又PB=PE,
∴PA=PE,
∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,
∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a
∵PE∥CF,
∴ = ,即 = ,
解得,a= b;
作GH⊥AC于H,
∵∠CAB=45°,
∴HG= AG= ×(2 b﹣2b)=(2﹣ )b,又BG=2b﹣a=(2﹣ )b,
∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,
∴∠HCG=∠BCG,
∵PE∥CF,
∴∠PEG=∠BCG,
∴∠AEC=∠ACB=45°.
∴a:b= :1;∴∠AEC=45°.
【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答;②根據(jù)PE∥CF,得到 = ,代入a、b的值計算求出a:b,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG,證明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度數(shù).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD中,BD是它的一條對角線,過A、C兩點作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N。
(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形。
(2)已知DE=4,F(xiàn)N=3,求BN的長。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,F(xiàn)為CD上一點,∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度數(shù)為整數(shù),則∠C的度數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】6張如圖所示的長為a,寬為b(a>b)的小長方形紙片,按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi),未被覆蓋的部分(兩個矩形)用陰影部分表示,設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S,當BC的長度變化時,按照同樣的放置方式,S始終保持不變,則a、b滿足( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A(2,4)、B(0,2)、C(2,1)、D(3,2),將四邊形向左平移4個單位長度,再向上平移3個單位長度,得到四邊形A′B′C′D′.
(1)四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD對應點的橫坐標有什么關系?縱坐標呢?分別寫出A′B′C′D′的坐標;
(2)如果將四邊形A′B′C′D′看成是由四邊形ABCD經(jīng)過一次平移得到的,請指出這一平移的方向和距離.
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