Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校�，連接AB．

（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為　    　；

（2）連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

（3）連接AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，

①求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線(xiàn)BC是否為⊙O的切線(xiàn)？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）45°或135°。

（2）當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大。

過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于C，如圖，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)，

∵△OAB為等腰直角三角形，∴AB=OA=6。

∴OE=AB=3。

∴CE=OC+CE=3+3。

∴△ABC的面積。

∴當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線(xiàn)與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為。

（3）①如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，

∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°。

∴∠DOA+∠DAO=90°。

∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO。

∴Rt△OCF∽R(shí)t△AOD。，

∴，即，解得。

在Rt△OCF中，，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為。

②直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)。理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴。∴∠COF=30°。

∴∠OAD=30°�！唷螧OC=60°，∠AOD=60°。

∵在△BOC和△AOD中，，

∴△BOC≌△AOD（SAS）。

∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC。

∴直線(xiàn)BC為⊙O的切線(xiàn)。

【解析】

試題分析：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），∴OA=OB=6。∴△OAB為等腰直角三角形。

∴∠OBA=45°。

∵OC∥AB，

∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°；

當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°。

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OE，然后計(jì)算△ABC的面積。

（3）①過(guò)C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽R(shí)t△AOD，則，即，解得，再利用勾股定理計(jì)算出，則可得到C點(diǎn)坐標(biāo)。

②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可確定直線(xiàn)BC為⊙O的切線(xiàn)。