Question

如圖，在線段AB上找一點(diǎn)C．已知AD⊥AB，EB⊥AB．現(xiàn)連接DC、EC．若DC⊥CE．
（1）求證：△DAC∽△CBE．
（2）若C為AB中點(diǎn)且以DC、CE為兩邊作一矩形DCEF，并連接FC．求證：FC⊥AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AD與AB垂直得到∠A為90°，且其余兩銳角互余，又由于DC與CE垂直，根據(jù)平角定義得到兩角互余，再根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)銳角相等，又根據(jù)一對(duì)直角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可得證；
（2）連接DE交FC于M，根據(jù)矩形的對(duì)角互相平分，得到M為DE中點(diǎn)，又由于C為AB中點(diǎn)，得到MC為梯形的中位線，根據(jù)梯形中位線定理即可得到MC與AD平行，由兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)∠A為90°，即可得到∠ACF為直角，從而得證．
解答：證明：（1）∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
又∵DC⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
由EB⊥BA，得到∠B=90°，
∴∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE；

（2）連接DE，與FG交于M，
∵四邊形DCEF為矩形，
∴M為DE中點(diǎn)，
∵C為AB中點(diǎn)，
∴AC=BC，
∴CM為梯形ABED的中位線，
∴CM∥AD，又∠A=90°，
∴∠ACM=90°，即FC⊥AB．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及梯形的中位線定理，本題第一問(wèn)根據(jù)同角的余角相等，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到判定兩三角形相似的條件；連接DE，是第二問(wèn)證明的突破點(diǎn)．