Question

（2009•永州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對稱軸為直線x=1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
（3）求△PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：此題文字比較多，而且圖象也比較復(fù)雜，所以解題時(shí)需要理解題意．
（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）、C（0，-）在函數(shù)圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）先求得直線BC的解析式為，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，再求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，可得線段PF的長；
（3）利用面積和，△PBC的面積即可求得．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
依題意得：，（1分）
解得：，（2分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為；（3分）

（2）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，（4分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
依題意，得，
∴，
故直線BC的解析式為，（5分）
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴；（6分）

（3）∵△PBC的面積=，
∴當(dāng)時(shí)，△PBC的最大面積為，（8分）
把代入，
得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（10分）
點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)真分析，仔細(xì)識(shí)圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，注意三角形面積的求法．