Question

如下圖所示，在⊙O中，過(guò)圓周上一點(diǎn)A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分別為弦AB及AC的中點(diǎn)，連接MN并兩向延長(zhǎng)，交圓于P和Q兩點(diǎn)．求證PM＝NQ．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作OH⊥PQ于H，則PH＝HQ，連接OM，ON．∵M(jìn)，N分別是弦AB，AC的中點(diǎn)， 　　∴OM⊥AB，ON⊥AC． 　　又∵AB＝AC，∴OM＝ON． 　　∵OH⊥MN，∴MH＝HN． 　　∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ． 　　分析：欲證PM＝NQ，由PQ為弦，容易聯(lián)想到作弦心距OH，則PH＝HQ．現(xiàn)只需證MH＝HN即可．又M，N分別為弦AB，AC的中點(diǎn)，易知OM＝ON．故原結(jié)論可證． 　　小結(jié)：本例反復(fù)運(yùn)用垂徑定理及其推論來(lái)達(dá)到證題的目的，要仔細(xì)體會(huì)遇弦作弦心距這種輔助線作法的作用．