Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，過點(diǎn)C、B分別作AD垂線，垂足分別為E、D．
（1）當(dāng)AC=BC時(shí)，猜想ED、BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）當(dāng)AC=k•BC時(shí)（如圖2），則ED、BD的數(shù)量關(guān)系是

BD=

k2+1

ED

（用含有k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CK⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，可以得出四邊形CEDK是矩形，由其性質(zhì)可以得出△AEC≌△BKC，可以得出CE=ED．再根據(jù)條件可以得出△CAE∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)可以得出

BD

DE

=

2

，進(jìn)而可以得出結(jié)論．
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CK⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，可以得出四邊形CEDK是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相應(yīng)條件可以得出△AEC∽△BKC，可以得出

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，有CE=kED．再根據(jù)△CAE∽△ABD可以得出

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

就可以得出BD=

k2+1

．

解答：解：（1）如圖1，BD=

2

ED
證明：過點(diǎn)C作CK⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∴∠K=90°
∵CE⊥AD，BD⊥AD
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四邊形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK．
在△AEC和△BKC中

∠ACE=∠BCK AC=BC ∠CAE=∠CBK

，
∴△AEC≌△BKC，
∴CE=CK，
∴CE=ED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

=

2

，
∴

BD

DE

=

2

，
即BD=

2

ED．
（2）如圖2，BD=

k2+1

ED．
理由：過點(diǎn)C作CK⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∴∠K=90°．
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四邊形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK，
∴△AEC∽△BKC，
∴

CE

CK

=

AC

BC

，
∴

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，
∴CE=kCK，
∴CE=kED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB²=AC²+BC²，
=（k．BC）²+BC²，
=（k²+1）BC²．
∴AB=

k2+1

BC，
∴

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

，
∴

BD

k•ED

=

k2+1

k

，
∴BD=

k2+1

ED．
故答案為：BD=

k2+1

ED．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)正確作出輔助線，證明三角形相似和全等是關(guān)鍵．