Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，點O₁在⊙O₂上，C為⊙O₂上一點（不與A，B，O₁重合），直線CB與⊙O₁交于另一點D．
（1）如圖（1），若AD是⊙O₁的直徑，AC是⊙O₂的直徑，求證：AC=CD；
（2）如圖（2），若C是⊙O₁外一點，求證：O₁C丄AD；
（3）如圖（3），若C是⊙O₁內(nèi)的一點，判斷（2）中的結(jié)論是否成立？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接O₁O₂，連接C0₁，利用直徑所對圓周角等于90度，以及垂直平分線的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)已知得出四邊形AEDB內(nèi)接于⊙O₁，得出∠ABC=∠E，再利用=，得出∠E=∠AO₁C，進而得出CO₁∥ED即可求出；
（3）根據(jù)已知得出∠B=∠EO₁C，又∠E=∠B，即可得出∠EO₁C=∠E，得出CO₁∥ED，即可求出．
解答：（1）證明：連接O₁O₂，連接C0₁
∵AC為⊙O₂直徑
∴∠AO₁C=90°
即CO₁⊥AD，
∵AO₁=DO₁
∴DC=AC（垂直平分線的性質(zhì)）；

（2）證明：連接AO₁，連接AB，延長AO₁交⊙O₁于點E，連接ED，
∵四邊形AEDB內(nèi)接于⊙O₁，
∴∠E+∠ABD=180°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠E，
又∵=，∴∠ABC=∠AO₁C，
∴∠E=∠AO₁C，
∴CO₁∥ED，
又AE為⊙O₁的直徑，∴ED⊥AD，
∴O₁C⊥AD，

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立．
證明：
連接AO₁，連接AB，延長AO₁交⊙O₁于點E，連接ED，
∵∠B+∠AO₁C=180°，∠EO₁C+∠AO₁C═180°，
∴∠B=∠EO₁C，
又∵∠E=∠B，
∴∠EO₁C=∠E，
∴CO₁∥ED，又ED⊥AD，
∴CO₁⊥AD．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及相交兩圓的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．