Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E．
（1）當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE=OC；
（2）當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

解：（1）當CD與OA垂直時，
∵△CDO為Rt△，
∴OC=，
∴，
由題意得四邊形ODCE是正方形，
∴OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE=．

（2）過點C分別作CK⊥OA，垂足為K，CH⊥OB，垂足為H．
∵OM為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1與∠2都為旋轉角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK=，
∴OD+OE=．

（3）結論不成立．
過點C分別作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=，
∴OD，OE，OC滿足．
分析：（1）CD與OA垂直時，根據勾股定理易得OC與OD、OE的關系，將所得的關系式相加即可得到答案．
（2）當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，易得△CKD≌△CHE，進而可得出證明；判斷出結果．解此題的關鍵是根據題意找到全等三角形或等價關系，進而得出OC與OD、OE的關系；最后轉化得到結論．
點評：本題考查旋轉的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應點連線的交點是旋轉中心．