Question

已知：二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（-2，-3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；
（3）點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使B、D、E、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可得到其對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)，由于A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BD，BD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，那么PA+PD的最小值即為BD的長(zhǎng)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)，即可用勾股定理（或坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式）求出BD的長(zhǎng)，也就求得了PA+PD的最小值．
（3）此題可分作兩種情況考慮：
①BE∥DG；根據(jù)拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可得C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即C、D的縱坐標(biāo)相同，所以CD∥x軸，那么C點(diǎn)就是符合條件的G點(diǎn)，易求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知BE=CD，由此可得到BE的長(zhǎng)，將B點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移CD個(gè)單位即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
②BD∥EG；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，此時(shí)G、D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)；那么將G點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去3（B、D橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值），即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該有4個(gè)．

解答：解：（1）將A（-3，0），D（-2，-3）代入y=x²+bx+c，得：

9-3b+c=0 4-2b+c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

；
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．

（2）由：y=x²+2x-3得：
對(duì)稱軸為：x=-

2

2×1

=-1，
令y=0，則：x²+2x-3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），
而點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-1對(duì)稱，
∴連接BD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則：DF=3，BF=1-（-2）=3，
在Rt△BDF中，BD=

32+32

=3

2

，
∵PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD=BD=3

2

，
即PA+PD的最小值為3

2

．

（3）存在符合條件的點(diǎn)E，
①在y=x²+2x-3中，令x=0，則有：y=-3，故點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），
∴CD∥x軸，
∴在x軸上截取BE₁=BE₂=CD=2，得BCDE₁和BDCE₂，
此時(shí)：點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，E₁（-1，0），E₂（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
當(dāng)G₃E₃∥BD且相等時(shí)，有G₃E₃DB，作G₃N⊥x軸于點(diǎn)N，
∵∠G₃E₃B=∠FBD=45°，∠G₃NE₃=90°，G₃E₃=BD=3

2

，
∴G₃N=E₃N=3；
將y=3代入y=x²+2x-3
得：x=-1±

7

，
∴E₃的坐標(biāo)為：(-1+

7

-3，0)，
即(-4+

7

，0)，
同理可得：E4(-4-

7

，0)，
綜上所述：存在這樣的點(diǎn)E，所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為：
E₁（-1，0），E₂（3，0），
E₃(-4+

7

，0)，E4(-4-

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；要特別注意的是（3）題中，由于沒(méi)有明確BD是平行四邊形的邊還是對(duì)角線，所以一定要分類(lèi)討論，以免漏解．