Question

如圖，在梯形ABCD中，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，點(diǎn)O為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OD，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O分別交射線BA于點(diǎn)P，交射線OD于點(diǎn)M，交射線B C于N，連接OP．
（1）求CD的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)∠MON=∠POB時(shí)，求⊙O的半徑．
②當(dāng)∠MON=∠POB時(shí)，求⊙O的半徑（直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，根據(jù)cosB==求出BE=3，由勾股定理求出AE即可；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，BH=HP，根據(jù)cosB=求出BH=，根據(jù)垂徑定理求出BP=2BH，代入求出即可；
（3））①設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)∠MON=∠POB時(shí)，有∠BOH=∠MON，此時(shí)tan∠BOH=tan∠MON，得出=，求出即可；
②過(guò)P作PQ⊥OB于Q，設(shè)BO=OP=r，根據(jù)cosB===，求出BH=r，由勾股定理求出OH=r，求出BP=2BH=r，BQ=BP=r，PQ=BP=r，根據(jù)tan∠MON=tan∠BOP得出=，求出方程的解即可．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，
∵在Rt△ABE中，由AB=5，cosB==，
∴BE=3，由勾股定理得：AE=4，
∵CD⊥BC，AE⊥BC，
∴CD∥AE，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是矩形，
∴CD=AE=4．

（2）∵CD⊥BC，BC=6，
∴AD=EC=BC-BE=3，
當(dāng)BO=AD=3時(shí)，在⊙O中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，
則BH=HP，
∵cosB=，
∴BH=3×=，
∵OH⊥BP，OH過(guò)O，
∴BP=2BH=；

（3）①設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OH⊥BA，PO=OB，
∴∠BOH=∠BOP，
當(dāng)∠MON=∠POB時(shí)，有∠BOH=∠MON，
此時(shí)tan∠BOH=tan∠MON，
∴=，
∴r=，
即⊙O的半徑為；
②過(guò)P作PQ⊥OB于Q，
設(shè)BO=OP=r，
∵cosB===，
∴BH=OB=r，由勾股定理得：OH=r，
∴BP=2BH=r，
∴BQ=BP=r，由勾股定理得：PQ=BP=r，
∵∠MON=∠BOP，
∴tan∠MON=tan∠BOP，
∴=，
∴=，
r=0（舍去），r=，
即⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．