如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,BC邊放在x軸的正半軸上,AB=3,AD=6,將紙片沿過(guò)點(diǎn)M的直線折疊(點(diǎn)M在邊AB上),使點(diǎn)B落在邊AD上的E處(若折痕MN與x軸相交時(shí),其交點(diǎn)即為N),過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC于Q,交折痕于點(diǎn)P.
(1)①當(dāng)點(diǎn)M分別與AB的中點(diǎn)、A點(diǎn)重合時(shí),那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P分別是點(diǎn)P1、P2,則P1 ______、P2 ______;②當(dāng)∠OMN=60°時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P是點(diǎn)P3,求P3的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx+c,是經(jīng)過(guò)(1)中的點(diǎn)P1、P2、P3,試求a、b、c的值;
(3)在一般情況下,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),那么y與x之間函數(shù)關(guān)系式還會(huì)與(2)中函數(shù)關(guān)系相同嗎(不考慮x的取值范圍)?請(qǐng)你利用有關(guān)幾何性質(zhì)(即不再用P1、P2、P3三點(diǎn))求出y與x之間的關(guān)系來(lái)給予說(shuō)明.

【答案】分析:(1)①點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,則點(diǎn)P為AO的中點(diǎn),即可得到點(diǎn)P1的坐標(biāo),點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)Q、P、N重合,AE=AO=3,從而得到點(diǎn)P2的坐標(biāo);
②根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠MNO=30°,根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性求出∠QNE=60°,然后解直角三角形求出QN、PQ的長(zhǎng)度,再利用直角三角形的兩銳角互余求出∠PEN=30°,連接PO,利用翻折對(duì)稱(chēng)性求出∠PON=∠PEN=30°,從而得到∠PON=∠MNO,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OQ=QN,從而得到點(diǎn)P3的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式列式求解即可;
(3)連接PO,根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得PE=PO,然后用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出PO,在Rt△POQ中,根據(jù)勾股定理列式整理即可得解.
解答:解:(1)①當(dāng)M與AB的中點(diǎn)重合時(shí),B與A重合,即E與A重合,則點(diǎn)P為OA的中點(diǎn),
∵AB=3,
∴P1(0,),
當(dāng)M與A重合時(shí),Q、P與N重合,
此時(shí),AE=AO=3,
∴P2(3,0);
故答案為:(0,),(3,0);

②當(dāng)∠OMN=60°時(shí),∠MNO=90°-60°=30°,
根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性,∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°,
在Rt△QNE中,tan∠QNE=
=,
解得QN=,
在Rt△PQN中,PQ=QN•tan∠MNO=tan30°=×=1,
連接PO,根據(jù)對(duì)折的性質(zhì),∠PON=∠PEN=90°-60°=30°,
∴∠PON=∠MNO,
∵EQ⊥BC,
∴OQ=QN=
∴點(diǎn)P3,1);

(2)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(0,),P2(3,0),P3,1),
,
解得,
故,a、b、c的值分別為a=-,b=0,c=;

(3)相同.
理由如下:如圖,連接OP,根據(jù)對(duì)折的對(duì)稱(chēng)性,△PON≌△PEN,
則PE=OP,
∵AB=3,
∴OP+PQ=EQ=AB=3,
∴OQ=x,PQ=y,PO=3-y,
在Rt△OPQ中,根據(jù)勾股定理,x2+y2=(3-y)2
整理,x2+y2=9-6y+y2
y=-x2+
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要考查了折疊的性質(zhì),解直角三角形,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理,難度不是很大,(1)中利用角度的相等求出相等的角,是利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解的關(guān)鍵,也是解題的突破點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫(huà)圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫(xiě)出結(jié)果).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鏁愭径濠勵吅闂佹寧绻傞幉娑㈠箻缂佹ḿ鍘遍梺闈涚墕閹冲酣顢旈銏$厸閻忕偠顕ч埀顒佺箓閻g兘顢曢敃鈧敮闂佹寧妫佹慨銈夋儊鎼粹檧鏀介柣鎰▕閸ょ喎鈹戦鐐毈闁硅櫕绻冮妶锝夊礃閵娧冨箣闂備胶鎳撻顓㈠磻濞戞氨涓嶉柣妯肩帛閳锋垹绱掔€n亜鐨¢柡鈧紒妯镐簻闁靛ǹ鍎查ˉ銏☆殽閻愯尙澧﹀┑鈩冪摃椤︻噣鏌涚€n偅宕屾俊顐㈠暙閳藉鈻庤箛鏃€鐣奸梺璇叉唉椤煤閺嵮屽殨闁割偅娲栫粻鐐烘煏婵炲灝鍔存繛鎾愁煼閹綊宕堕鍕婵犮垼顫夊ú鐔奉潖缂佹ɑ濯撮柧蹇曟嚀缁椻剝绻涢幘瀵割暡妞ゃ劌锕ら悾鐑藉级鎼存挻顫嶅┑顔矫ぐ澶岀箔婢跺ň鏀介柣鎰綑閻忥箓鎳i妶鍡曠箚闁圭粯甯炴晶娑氱磼缂佹ḿ娲寸€规洖宕灒闁告繂瀚峰ḿ鏃€淇婇悙顏勨偓鏇犳崲閹烘绐楅柡宓本缍庣紓鍌欑劍钃卞┑顖涙尦閺屻倝骞侀幒鎴濆Б闂侀潧妫楅敃顏勵潖濞差亝顥堥柍鍝勫暟鑲栫紓鍌欒兌婵敻骞戦崶顒佸仒妞ゆ棁娉曢悿鈧┑鐐村灦閻燂箑鈻嶉姀銈嗏拺閻犳亽鍔屽▍鎰版煙閸戙倖瀚� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆撳礉閵堝洨纾界€广儱鎷戦煬顒傗偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備胶绮崝锕傚礈濞嗘垹鐭嗛柛鎰ㄦ杺娴滄粓鏌¢崶褎顥滄繛灞傚€濋幃鈥愁潨閳ь剟寮婚悢鍛婄秶濡わ絽鍟宥夋⒑缁嬫鍎愰柛鏃€鐟╁璇测槈濡攱鐎婚棅顐㈡祫缁茬偓鏅ラ梻鍌欐祰椤曟牠宕板Δ鍛仭鐟滃繐危閹版澘绠婚悗娑櫭鎾绘⒑閸涘﹦绠撻悗姘卞厴閸┾偓妞ゆ巻鍋撻柣顓炲€垮璇测槈閵忕姈鈺呮煏婢诡垰鍟伴崢浠嬫煟鎼淬埄鍟忛柛鐘崇墵閳ワ箓鏌ㄧ€b晝绠氶梺褰掓?缁€渚€鎮″☉銏$厱閻忕偛澧介悡顖滅磼閵娿倗鐭欐慨濠勭帛閹峰懘宕ㄩ棃娑氱Ш鐎殿喚鏁婚、妤呭磼濠婂懐鍘梻浣侯攰閹活亞鈧潧鐭傚顐﹀磼閻愬鍙嗛梺缁樻礀閸婂湱鈧熬鎷�