如圖,設(shè)ABCDE是正五邊形,對角線AC、BD交于F點.
∵ ∠BCD=∠ABC= 又CB=CD,∴ ∠1=∠2= 同理可求∠3=∠4=36°.∴ ∠DFC=∠1+∠3=72°,∠ACD=∠BCD-∠3=108°-36°=72°,∴ DF=DC=BC. ∵ △BCD∽△BFC,∴ 設(shè)正五邊形的邊長為a,對角線長為l, ∴ a2=l(l-a).∴ a2+al-l2=0. ∴ a=
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(1)本例是正五邊形邊與對角線的一種特殊關(guān)系,比值約為0.618,正好是黃金分割數(shù).
(2)構(gòu)造形如此例中的△BCD,使∠B=∠D=36°,作∠FCB=36°,則F是BD的黃金分割點,所以我們可用此法把已知線段黃金分割. (3)要習(xí)慣用多邊形內(nèi)角和的公式求內(nèi)角及有關(guān)的角. (4)本例還可以用以下方法證明△BCD∽△BFC. 作出正五邊形的外接圓. ∵ A、B、C、D、E是⊙O的五等分點, ∴ ∠2=∠3,∠ACD=∠DFC=2∠3. ∴ BC=CD=DF.∴ △BCF∽△BDC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江蘇省無錫市惠山北片九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
翻轉(zhuǎn)類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大,因此初三(5)班聰慧的小菲同學(xué)結(jié)合2011年蘇州市數(shù)學(xué)中考卷的倒數(shù)第二題對這類問題進(jìn)行了專門的研究。你能和小菲一起解決下列各問題嗎?(以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可。)
(1)如圖①,小菲同學(xué)把一個邊長為1的正三角形紙片(即△OAB)放在直線l1上,OA邊與直線l1重合,然后將三角形紙片向右翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置,求頂點O所經(jīng)過的路程;并求頂點O所經(jīng)過的路線;
圖①
(2)小菲進(jìn)行類比研究:如圖②,她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上,OA邊與直線l2重合,然后將正方形紙片向右翻轉(zhuǎn)若干次.她提出了如下問題:
圖②
問題①:若正方形紙片OABC接上述方法翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置,求頂點O經(jīng)過的路程;
問題②:正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn),頂點O經(jīng)過的路程是。
(3)①小菲又進(jìn)行了進(jìn)一步的拓展研究,若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合(如圖3),然后讓這個正三角形在正方形上翻轉(zhuǎn),直到正三角形第一次回到初始位置(即OAB的相對位置和初始時一樣),求頂點O所經(jīng)過的總路程。
圖③
②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉(zhuǎn)(如圖④),直到正方形第一次回到初始位置,求頂點O所經(jīng)過的總路程。
圖④
(4)規(guī)律總結(jié),邊長相等的兩個正多邊形,其中一個在另一個上翻轉(zhuǎn),當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時,該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的___________。
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