Question

如圖，直線y=x+3與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過點A，B，頂點為C，連接CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱．


（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

(1) y=﹣x²﹣2x+3, （﹣1，4）； （2）證明如下.

解析試題分析：（1）先根據(jù)直線y=x+3求得點A與點B的坐標，然后代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得其頂點坐標即可；
（2）根據(jù)B、D關于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）求得點D的坐標，然后得到AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)∠ABC=90°得到四邊形ABCD是直角梯形．
試題解析：（1）∵y=x+3與坐標軸分別交與A、B兩點，
∴A點坐標（﹣3，0）、B點坐標（0，3）.
∵拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過A、B兩點，
∴，解得.
∴拋物線解析式為：y=﹣x²﹣2x+3.
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，
∴頂點C的坐標為（﹣1，4）.
（2）∵B、D關于MN對稱，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）.
∵B（3，0），A（﹣3，0），
∴OA=OB.
又∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵B、D關于MN對稱，
∴BD⊥MN.
又∵MN⊥X軸，∴BD∥X軸.
∴∠DBA=∠BAO=45°.
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.
∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°.
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°.
∵B，D關于MN對稱，
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB.
又∵AD與BC不平行，
∴四邊形ABCD是梯形.
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是直角梯形
考點：(1)二次函數(shù)；（2）直角梯形.